Identifier la Loi exponentielle de paramètre \(\lambda\) comme une loi Gamma avec des paramètres que l'on précisera.

Si \(N\sim\mathcal N(0,1)\), montrer que \(N^2\) suit une loi Gamma avec des paramètres que l'on précisera.

Chercher la loi de \(N^2\) via un changement de variables.

Soit \(G\sim\Gamma(\alpha,\beta)\). Quelle est la loi de \(bG\) pour \(b\gt 0\) ?

Chercher la loi via un changement de variable affine.

Soient \(G_1,G_2\) des v.a. Indépendantes de loi Gamma.
Déterminer la loi du couple \((S,R)=(G_1+G_2,\frac{G_1}{G_1+G_2})\).
En déduire la loi des marginales \(S\) et \(R\). Sont-elles indépendantes ?

Ecriture de la loi du couple en passant par l'indépendance.

On obtient la bonne densité via un changement de variable avec une jacobienne.

On reconnaît les lois marginales et l'indépendance.